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<!DOCTYPE html>

<title>Optimalitätskriterium</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Optimalitätskriterium</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p><b>Optimalitätskriterien</b> spielen eine wichtige Rolle in der mathematischen <a href="Optimierung_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Optimierung (Mathematik)">Optimierung</a>. Sie werden entsprechend ihrer Stärke und den nötigen Voraussetzungen kategorisiert und dazu verwendet, mögliche Optimalpunkte eines Problems aufzufinden (<a href="Notwendige_und_hinreichende_Bedingung" title="Notwendige und hinreichende Bedingung">notwendige</a> Kriterien) oder zu entscheiden, ob ein gefundener Punkt tatsächlich ein Optimalpunkt ist (hinreichende Kriterien).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> ein zulässiger Punkt eines <a href="Optimierungsproblem" title="Optimierungsproblem">Optimierungsproblems</a> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"></span> ein gewisses Kriterium. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"></span> heißt <b>notwendiges Optimalitätskriterium</b> für eine bestimmte Klasse von Problemen, wenn folgende Aussage gilt:

</p>

<mtext> ist optimal </mtext>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x{\text{ ist optimal }}\implies K{\text{ gilt }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bb0c117bba299cba56a1a16e36c3edf082021ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.265ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x{\text{ ist optimal }}\implies K{\text{ gilt }}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>oder in verneinter Form

</p>

<mtext> gilt nicht </mtext>

</mrow>

<mtext> ist nicht optimal </mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K{\text{ gilt nicht }}\implies x{\text{ ist nicht optimal }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3142e53c0db384093ab377e50c222e54cd60eba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:37.764ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle K{\text{ gilt nicht }}\implies x{\text{ ist nicht optimal }}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"></span> heißt ein <b>hinreichendes Optimalitätskriterium</b>, wenn folgende Aussage gilt:

</p>

</mrow>

<mtext> ist optimal </mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K{\text{ gilt }}\implies x{\text{ ist optimal }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb1bdd14766699dc339d422ddeaa602134c8da95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.265ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle K{\text{ gilt }}\implies x{\text{ ist optimal }}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>oder in verneinter Form

</p>

<mtext> ist nicht optimal </mtext>

</mrow>

<mtext> gilt nicht </mtext>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x{\text{ ist nicht optimal }}\implies K{\text{ gilt nicht }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/998909724df3edc74defe0683b4c595430ddf5f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:37.764ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle x{\text{ ist nicht optimal }}\implies K{\text{ gilt nicht }}}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<p>Ein Optimalitätskriterium heißt <b>Optimalitätskriterium erster Ordnung</b> (auch <b>Bedingung erster Ordnung</b> oder kurz B.e.O.; englisch <i>first order condition</i> oder kurz FOC), wenn es Forderungen an die ersten <a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">Ableitungen</a> der auftretenden Funktionen stellt. Dementsprechend ist ein <b>Optimalitätskriterium zweiter Ordnung</b> (auch <b>Bedingung zweiter Ordnung</b> oder kurz B.z.O. bzw. B.zw.O., englisch <i>second order condition</i> oder kurz SOC) eines, das Anforderungen an die zweiten Ableitungen stellt. Teilweise werden auch noch Anforderungen an höhere Ableitungen gestellt.

</p><p>Zu beachten ist, dass noch nicht weiter präzisiert wurde, was genau „optimal“ bedeutet. Dies kann sowohl maximal, minimal oder auch global oder lokal optimal sein.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notwendig_erster_Ordnung">Notwendig erster Ordnung</h3></div>

<p>Ein typisches Beispiel für ein notwendiges Optimalitätskriterium erster Ordnung findet sich in der unrestringierten Optimierung. Nimmt eine <a href="Stetig_differenzierbar" class="mw-redirect" title="Stetig differenzierbar">stetig differenzierbare</a> Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"></span> in einem Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> ein <a href="Lokales_Minimum" class="mw-redirect" title="Lokales Minimum">lokales Minimum</a> an, so verschwindet die Ableitung in diesem Punkt: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f'(x)=0}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f'(x)=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/99d0a1b41cfebaf9ce720ec45fa5b14361711d43.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.405ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f'(x)=0}" loading="lazy"></span>. Die Problemklasse wäre in diesem Fall das Finden eines Minimums bei stetig differenzierbaren Funktionen auf <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"></span>, der Optimalitätsbegriff der des lokalen Minimums.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hinreichend_erster_Ordnung">Hinreichend erster Ordnung</h3></div>

<p>Ein hinreichendes Kriterium erster Ordnung findet sich bei der Minimierung von <a href="Konvexe_und_konkave_Funktionen" title="Konvexe und konkave Funktionen">strikt konvexen Funktionen</a>. Verschwindet hier die Ableitung in einem Punkt, so ist dieser Punkt ein globales Minimum.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Notwendig_zweiter_Ordnung">Notwendig zweiter Ordnung</h3></div>

<p>Das Bestimmen von <a href="Wendepunkte" class="mw-redirect" title="Wendepunkte">Wendepunkten</a> benutzt notwendige Bedingungen zweiter Ordnung. Ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Hinreichend_zweiter_Ordnung">Hinreichend zweiter Ordnung</h3></div>

<p>Beispiel hierfür wäre das Bestimmen eines lokalen Minimums einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion. Ist die erste Ableitung gleich null und die zweite Ableitung echt größer null, dann handelt es sich um ein lokales Minimum.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Wichtige_Optimalitätskriterien"><span id="Wichtige_Optimalit.C3.A4tskriterien"></span>Wichtige Optimalitätskriterien</h2></div>

<p>Eines der wichtigsten Optimalitätskriterien in der <a href="Nichtlineare_Optimierung" title="Nichtlineare Optimierung">nichtlinearen Optimierung</a> sind die <a href="Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen" title="Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen">Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen</a>. Im allgemeinen Fall sind sie ein notwendiges Kriterium erster Ordnung. Allerdings benötigen sie zur Geltung noch gewisse Regularitätsvoraussetzungen wie die <a href="Abadie_CQ" class="mw-redirect" title="Abadie CQ">Abadie CQ</a>, die <a href="MFCQ" class="mw-redirect" title="MFCQ">MFCQ</a> oder die <a href="LICQ" class="mw-redirect" title="LICQ">LICQ</a>.

</p><p>Ist das gestellte Problem <a href="Konvexe_Optimierung" title="Konvexe Optimierung">konvex</a>, so sind die Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen auch hinreichend für die Optimalität. Ein etwas schwächeres notwendiges Optimalitätskriterium sind die <a href="Fritz-John-Bedingungen" title="Fritz-John-Bedingungen">Fritz-John-Bedingungen</a>, diese kommen ohne zusätzliche Regularitätsannahmen aus.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Florian Jarre, Josef Stoer: <i>Optimierung.</i> Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-43575-1.</li>

<li>C. Geiger, C. Kanzow: <i>Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben</i>. Springer, 2002. ISBN 3-540-42790-2. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=spmzFyso_b8C&hl=de">https://books.google.de/books?id=spmzFyso_b8C&hl=de</a></li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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